È il più lontano dei pianeti del Sistema Solare e l'unico la cui scoperta è stata anticipata con un calcolo matematico anziché con l'osservazione. Il 23 settembre 1846 l'astronomo tedesco Johann Gottfried Galle diventa il primo a osservare con un telescopio il pianeta Nettuno, nella posizione predetta dal francese Urbain Le Verrier.
Nettuno è un pianeta troppo lontano dalla Terra e poco luminoso per essere avvistato a occhio nudo, per cui le prime osservazioni sono state possibili solo dopo l'invenzione del telescopio all'inizio del '600. Il primo a registrare la presenza di Nettuno fu Galileo Galilei tra il 1612 e il 1613, anche se egli non lo riconobbe come un pianeta. In due occasioni lo scambiò per una stella fissa in congiunzione con Giove, motivo per cui la scoperta non gli è attribuita. Il movimento gli sembrava troppo impercettibile e l'orbita troppo piccola per un pianeta. Nel 2009 l'Università di Melbourne disse che Galileo aveva percepito alcune anomalie in quella stella blu, ma a oggi non esiste alcuna prova che avesse capito la sua natura.
Nel 1847 Sears Walker, del Naval Observatory degli Stati Uniti, verificò se qualcuno avesse inavvertitamente scoperto Nettuno prima di Galle e scoprì che le osservazioni di Joseph Jérome Jeanfrançois de Lalande nel 1795 all'Osservatorio di Parigi avevano registrato una "stella" all'incirca nella posizione del pianeta. Anche John Herschel stava per scoprire Nettuno nello stesso modo casuale con cui suo padre William aveva scoperto Urano nel 1781. In una lettera del 1830 l'astronomo inglese scrisse che aveva individuato un corpo celeste sconosciuto e che grazie suo potente telescopio lo aveva messo a fuoco come un piccolo disco blu, ma come Galileo anche lui non lo riconobbe come un pianeta e lo scambiò per una stella.
Eppure già da diversi anni qualcuno nella comunità scientifica si era convinto che dovesse esserci un altro pianeta nel Sistema Solare. Nel 1821 il francese Alexis Bouvard aveva pubblicato tavole astronomiche dell'orbita di Urano, facendo previsioni sulle future posizioni in base alle leggi sul moto gravitazionale di Newton. Le osservazioni però riportarono valori differenti, portando Bouvard a ipotizzare la presenza di un corpo perturbante. O l'effetto dell'attrazione gravitazionale del Sole a una così grande distanza era differente rispetto a quanto descritto da Newton, o c'erano stati degli errori di osservazione, oppure l'orbita di Urano era disturbata da un pianeta sconosciuto.
L'inglese John Couch Adams studiò le irregolarità nell'orbita di Urano e si convinse che combinando i dati e le leggi di Newton avrebbe potuto calcolare massa, posizione e orbita del corpo perturbante. Era un'impresa complessa perché costituiva un problema inverso: dedurre i parametri di un modello matematico sulla base dei dati di osservazione, anziché il contrario. Ora è un problema banale, soprattutto visto l'uso dei computer, ma all'epoca richiese un grande lavoro manuale.
Adams usò la legge di Bode, sistema empirico per calcolare la distanza tra due pianeti in un determinato sistema solare. Data la posizione del pianeta sconosciuto, calcolò l'orbita di Urano e la confrontò con le osservazioni empiriche, aggiustando i parametri del misterioso pianeta finché le due orbite (reale e supposta) non avessero coinciso.
A febbraio 1844 James Challis, direttore dell'Osservatorio di Cambridge, chiese all'Astronomo Reale George Biddell Airy alcuni dati sulla posizione di Urano da inviare a Adams. Sappiamo che Adams completò i suoi calcoli a settembre 1845 e che Challis non fu impressionato dai risultati, che si erano rivelati una lunghissima fatica che non aveva ancora portato a nulla.
A novembre 1845 il francese Urbain Le Verrier presentò all'Academie des Sciences di Parigi un memoir su Urano, dimostrando che il modello esistente non era in grado di registrarne efficacemente l'orbita. Senza saperlo, fece lo stesso ragionamento di Adams e a giugno 1846 pubblicò un secondo memoir con la sua predizione sulla posizione di Nettuno, senza indicarne massa e orbita. La posizione si rivelerà sbagliata per appena 1 grado.
Quando George Airy dall'Inghilterra seppe delle conclusioni di Le Verrier, sorprendentemente simili a quelle di Adams, si convinse che il pianeta poteva essere davvero osservato. Il 29 luglio 1846, su sua pressione, l'Osservatorio di Cambridge iniziò le ricerche.
Le Verrier, senza sapere che gli inglesi si erano attivati concretamente, pubblicò un terzo memoir, indicando anche la massa e l'orbita del pianeta. Dato lo scarso interesse da parte del mondo scientifico francese, spedì i suoi risultati al tedesco Johann Gottfried Galle all'Osservatorio di Berlino. Subito dopo la mezzanotte del 24 settembre 1846, dopo appena un'ora di ricerca, Galle avvistò Nettuno. L'astronomo diede l'annuncio scrivendo a Le Verrier con emozione: "Il pianeta di cui avete calcolato la posizione esiste veramente".
Dopo l'annuncio, gli inglesi si resero conto di aver già avvistato il pianeta l'8 e il 12 agosto, oltre un mese e mezzo prima di Galle, ma a causa delle mappe stellari non aggiornate da Challis non lo avevano riconosciuto come un pianeta, scambiandolo anche loro per una stella.
Gli astronomi inglesi dissero subito che Adams aveva già calcolato la sua posizione in anticipo, ma il giovane scienziato non volle pubblicare il suo lavoro perché si era rivelato leggermente sbagliato, oltre che irrilevante per la scoperta. Nel 1846 La Royal Society conferì a Le Verrier la Medaglia Copley senza menzionare Adams. Gli inglesi cercarono allora di far passare l'idea che Le Verrier e Adams dovessero essere messi sullo stesso piano perché erano arrivati indipendentemente alla stessa soluzione, ma lo stesso Adams riconobbe l'esattezza e la precedenza dei calcoli del collega francese. Nel 1874 diventerà Presidente della Royal Astronomical Society, conferendo la Medaglia d'Oro della RAS, la più alta onorificenza, proprio a Le Verrier.
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